在经典土压力理论中，认为土压力呈线性分布，而工程实测结果和模型试验表明，土压力是曲线分布[1,2]。本文引用主应力拱的概念，利用水平层分析法，对垂直墙背挡土墙后填土水平且无粘性条件下的土压力分布进行研。

1 主应力拱及侧向土压力系数

1.1 挡土墙模型 为分析方便，取如图1所示的挡土墙模型，假定：①ab、cd是二刚性平行墙背，相距B，墙面粗糙；②两墙之间填土水平且无粘性；③在外力作用下，两墙产生相向(背)运动，土体达到被(主)动极限状态。

1.2 大主应力拱应力和理论被动土压力系数 在挡土墙模型中，因问题的对称性，两墙中点E的大主应力σ1为水平，而靠近边墙的A、C点，因边壁摩擦影响，大主应力发生偏斜并与墙面形成θ=45°+φ/2的夹角[3],这就使两墙之间的大主应力迹线成为一条对称的下凸曲线，称为大主应力拱，如图2所示，其中φ为土体的内摩擦角。大主应力拱上E点和A、C点的应力状态可用莫尔应力圆表示。
根据图1，由A点微分单元水平力及垂直力的平衡条件可得将式(1)两端同除以小主应力σ3，并认为土体处于朗金被动状态，即σ1/σ3等于朗金被动土压力系数Kp，式(1)变为

由图2可知：σh=σ1+σ3-σv，将其代入式(3)，

式(3)除以式(4)，得到理论被动土压力系数

 (5)
 

式中：σh、σv、τ分别为A点的水平应力、垂直应力和剪应力。
对于光滑墙面，θ=90°，则Kp1=Kp；对于粗糙墙面，θ=45°+φ/2，则Kp1=(1+sin2φ)/(1-sin2φ)。若θ为大主应力拱内某点大主应力与铅垂直的夹角，以上各式即表示该点的应力及其比值关系。

1.3 大主应力拱形状和实用被动土压力系数 由图2可见，大主应力拱单元的边界是由小主应力面形成的曲面，为了满足力矩平衡条件，大主应力拱内的应力应保持为常量。假定土拱单元的厚度和土的容重不变，则大主应力拱的形状为一条悬链线，令墙土摩擦角δ等于土体的内摩擦角φ，其方程为
在墙壁处，x=±1，其斜率为

由式(7)可以求得不同φ时的拱形参数a，结果见表1。根据φ及其对应的a，可由式(6)绘出大主应力拱的曲线，由式(3)～式(5)绘出σh/σ3、σv/σ3、σh/σv应力比值曲线，见图3。为了实用，对不同的φ，利用式(4)求大主应力拱内平均垂直应力σav与σ3的比值，经数值分析，当φ=0°～40°时，σav/σ3=1.00～1.24。则实用的被动土压力系数为

垂直墙背挡土墙后的土体到达被动极限状态时，忽略墙背对土体的影响，土体内破裂面 上各点的应力状态与图1中E点的应力状态相同，三角形滑动土楔内的大主应力拱近似为上述 曲线之半，挡土墙被动土压力系数可由式(8)计算。
 表1 不同内摩擦角时的拱形参数
 
内摩擦角φ/o
 拱形参数a
 
 
（a）拱曲线
 （b）被动状态时拱内应力比值曲线
 
图3 拱曲线及应力比值曲线
 

1.4 小主应力拱及主动土压力系数 由分析可知，土体模型中的二平行墙产生向背运动，并使土体达到主动极限状态时，小主应力迹线形成的小主应力拱与大主应力拱有完全一样的形状，此时，两平行墙给土体的剪应力向上，图2中的大主应力拱变成了小主应力拱，莫尔应力圆中的σh和σv互换，拱内应力及其关系为

理论主动土压力系数为式中：Ka为朗金主动土压力系数；θ为小主应力与铅垂直的夹角；其余符号意义同前。Ka1和Kp1互为倒数。
实用主动土压力系数为
2 土压力公式

2.1 被动土压力 被动极限状态下，墙后滑动土楔如图4所示，β为土体内破裂面与铅垂面的夹角。在楔体内某一深

图4 土契内的水平层单元

度h处，取一水平薄层单元，其上的作用力包括平均垂直土压力(平均垂直应力)q、单元重力dw、墙体和稳定土体对土楔的分布作用力p1、p2。由水平薄层单元水平力的平衡条件得由竖直力的平衡条件得

略去二阶微量，注意到p1=Kpwq/cosδ，将式(15)代入，式 (16)变为

式中：γ为回填土的重度；D=1-KpwG,G=[tan(β-φ)-tanδ]/tanβ。
为简单起见，取边界条件h=0时，q=0，得微分方程(16)的特解

被动土压力的分布p与p1大小相等、方向相反：对式(19)进行积分，得被动土压力的合力,由力矩法可求得合力作用点到墙底的距离

为使合力P最大，令dP/d(tanβ)=0，得破裂面与铅垂面夹角β之值

式中：n1=1-tanδtanφ；n2=tanδ+tanφ；n3=tanφ。

2.2 主动土压力 分析表明，主动状态时的土压力分布、合力以及其作用点高度的计算表达式与被动土压力完全相同，但此时需用Kaw代替Kpw，G和tanβ的计算式应分别改为

3 验证分析

利用前苏联学者查嘎列尔[1]的主动土压力试验数据，对本文公式进行验证分析。试验用挡土墙高4.0m，墙后填土为海沙，φ=37°?，γ=18kN/m3，δ=27°～37°，主动极限状态时测得的主动土压力分布如图5中虚线，合力作用点高度为1.6m。利用本文公式，取δ＝27°所求主动土压力分布如图中实线，合力作用点高度为1.8m。
两条曲线十分接近。文中公式所得主动和被动土压力的合力与库仑解相等，但合力作用点到墙底的距离不是定值H/3。主动土压力呈凸曲线分布，其合力作用点高度为(1/3～1/2)H，与文献[1]中的许多试验结果相吻合。被动土压力呈凹曲线分布，其合力作用点高度小于H/3。

4 结 论

(1)大、小主应力拱形状相同，均可用悬链线表示。理论主动土压力系数和理论被动土压力系数互为倒数。(2)根据假定，文中公式可使用于填土水平且无粘性的垂直墙背重力式挡土墙。主动和被动土压力的计算公式形式相同，但参数不同。(3)水平层分析法以库仑假定为前提，故本文所得土压力合力与库仑解相等，但合力与侧压力系数无关。(4)墙背垂直时，主动土压力呈凸曲线分布，其合力作用点高度大于H/3；被动土压力呈凹曲线分布，其合力作用点高度小于H/3。