斜拉桥稳定性整体分析
2018-05-07
结构失稳是指在外力作用下结构的平衡状态开始丧失稳定性，稍有扰动，也会引起很大的位移和变形，甚至发生破坏。此时虽然截面的内力并未超过它的最大抵抗能力，但结构的平衡状态发生了分支，或者是随着变形的发展内外力的平衡己不可能得到，于是结构在外荷载基本不变的情况下可能发生很大的位移最后导致结构的破坏。
一、稳定理论的发展概况
与桥梁结构相关的稳定理论已有悠久的历史，同时桥梁失稳事故的发生促进了桥梁稳定理论的发展。早在1744年欧拉（L.Euler）就进行了弹性压杆屈曲的理论计算。在国内对于斜拉桥的稳定性问题，李国豪等提出了采用空间杆系屈曲有限元方法进行计算的思路，并给出了计算斜拉桥平面屈曲临界荷载的近似方法。
根据结构经受任意微小外界干扰后，能否恢复初始平衡状态，可把平衡状态分为稳定、不稳定和随遇三种。研究结构稳定的主要目的就在于防止不稳定平衡状态的发生。由失稳前后平衡和变形性质，可以把稳定问题分为两大类：第一类稳定，即分支点失稳问题。见图1；第二类稳定，即极值点失稳问题，见图2。
图1 分支点失稳
图2极值点失稳
二、斜拉桥的第一类稳定问题
在斜拉桥建设的初期，跨径一般较小，再加上计算手段的不成熟，通常只考虑第一类稳定问题，而且常把塔和梁分离开来单独考虑其稳定性。对斜拉桥稳定性较精确的分析方法是有限元法，这种方法可求得斜拉桥整体的屈曲安全度。
在有限元分析中，斜拉桥被离散为许多单元。如果知道各个单元的力和位移的关系，则不难推出整体结构的力和位移的关系。值得注意的是，在压杆刚度矩阵中，需要考虑轴向力对刚度的影响。对于第一类稳定问题而言，结构失稳时是处于小变形范围，大位移矩阵[KL]较小，通常忽略不计。
空间梁单元在小变形下的单元刚度矩阵： （1）
—单元的刚度矩阵；
—单元的弹性刚度矩阵；
—单元几何刚度矩阵。还与初始轴力N有关，所以也称为初始应力刚度矩阵。几何刚度矩阵使单元刚度发生了变化，主要是由于轴力在杆弯曲时所产生的效应所致。当轴力是拉力时，杆的刚度变大，即强化(增加)了单元刚度矩阵；当轴力是压力时，杆的刚度变小，即软化(减小)了单元刚度矩阵。
然后，将各个单元的刚度矩阵，集合成整个结构的整体刚度矩阵，将作用于各单元的等效结点力列阵，集合成总的载荷列阵。于是得到以整体刚度矩阵[K]、载荷列阵{F}以及整个结构的结点位移列阵{δ}表示的整个结构的平衡方程
[K]{δ}={F}(2)
即 (3)
一般来讲，式(3)的系数矩阵是非奇异的，它只有零解{δ}=0。表示原来的非挠曲的平衡是稳定平衡。设外力按比例增加λ倍，单元轴力成为λP，由于
[Kσ]与荷载大小有关，整体的几何刚度矩阵变为λ[Kσ]。整体平衡方程则成为：
(4)
如果λ足够大，使得结构达到随遇平衡状态，即当{δ}变为({δ}+{Δδ})时，平衡方程式(4)也能满足，即有：
(5)
同时满足式(4)和式(5)的条件是
(6)
由此可见，结构的稳定性分析最终归结为广义特征值问题。{Δδ}=0是式(6)的一组解，表示结构未发生失稳变形的情况，这组解并不是我们需要的。为了使式(6)取得非零解，则要求：
(7)
这就是计算稳定安全系数的特征方程，若为n阶，在理论上可得到n个特征值，相应地可由式(6)求出n个特征向量，它们分别表示各阶稳定安全系数的大小及相应的屈曲模式。对于稳定问题，有实际意义的只是最小正特征值所对应的临界荷载端λminP。如果特征方程式(7)没有正特征值，说明在这种荷载下结构没有失稳问题，例如杆在轴向拉力下就不会发生失稳问题。
λ称为特征值，也叫比例因子或载荷因子，作用荷载P乘以它就等于临界屈曲荷载Pcr。作用荷载可以是任意的，如果给定荷载P是单位荷载，特征值即是屈曲荷载，如果给定荷载P是实际荷载，特征值即为该结构的屈曲安全系数，总之，它们的乘积Pcr保持不变。
三、斜拉桥的第二类稳定问题
第二类稳定问题可以理解为求结构极限荷载的问题。从设计的角度讲，现行的承载能力极限状态设计法是从“极限设计”的思想中引出的概念。传统的“强度设计”以构件最大工作应力乘以安全系数等于材料的屈服应力为依据。但是，在一般的情况下，构件某截面开始屈服并不能代表结构完全破坏，结构所能承受的荷载通常较构件开始屈服时的荷载要大。为了利用这一结构强度储备量，“极限设计”提出了极限荷载的概念。即引起结构完全崩溃的荷载，并将结构的工作荷载取为极限荷载的一个固定的部分。显然这种考虑方式更为合理。
斜拉桥稳定性分析中，对于第一类稳定问题的分析一般采用弹性有限元方法，通过特征值求解得出一阶特征值作为稳定安全系数，其计算原则为：
(1)假设失稳前结构处于小变形状态，不考虑斜拉桥的各种非线性特征；
(2)计入施工过程中位移和应力的叠加效应。
对于第二类稳定问题的分析一般采用荷载增量求解的非线性有限元方法，通过非线性方程的求解得出结构的极限承载力，从而得出结构的稳定安全系数，其计算原则为：
(1)考虑梁—柱效应、大位移效应及斜拉索垂度效应；
(2)计入施工过程中位移和应力的叠加效应；
(3)考虑主梁和混凝土桥塔的材料非线性；
(4)考虑单根构件极限承载能力的影响；
(5)考虑施工过程中临时支架支点的单向受力(仅受压)特性。
考虑单根构件极限承载能力的影响及支架支点的单向受力特性属于边界非线性问题。因而第二类稳定问题包含了几何非线性、材料非线性及边界非线性，属于多重非线性问题。
综合第一类稳定和第二类稳定的计算原则，研究稳定问题时，可对下列情形进行计算分析：
(1)第一类稳定性分析；
(2)仅考虑几何非线性的稳定性分析；
(3)同时考虑几何非线性和支架支点单向受力特性的稳定性分析；
(4)同时考虑几何非线性和材料非线性的稳定性分析；
(5)根据第二类稳定性计算原则，进行极限承载能力分析。
上述计算情形的依次计算分析，既可以得出斜拉桥各种非线性因素对稳定性安全系数的影响及一般规律，又是编制、调试斜拉桥稳定计算程序和检查模型正确性的必要步骤。
四、斜拉桥稳定性判别标准及评价方法
（一）结构稳定性的判别准则
判断结构的稳定性一般可采用能量准则、静力准则及动力准则。前面介绍的方法均属于静力准则。以下介绍能量准则对结构稳定性进行判断。
由能量原理可知，如果结构处于平衡状态，则它的总势能泛函∏的变分为零，即：
δΠ=0 (8)
如果Π*表示平衡状态发生微小改变的总势能泛函，则将Π*按Tayler级数展开可得：
Π*=Π+δΠ+1/2δ2Π (9)
因为在平衡状态由式(14)，得总势能泛函的增量为：
ΔΠ*=Π*-Π=1/2δ2Π (10)
如果只取二阶微小量，则由此可得判断结构稳定性的能量准则：
如果δ2Π>0，则Π为极小值，结构处于稳定平衡状态；
如果δ2Π<0，则Π为极大值，结构处于不稳定平衡状态；
如果δ2Π=0，则Π为驻值，结构处于临界平衡状态。
利用变分原理可得：
δ2Π=Δ{δ}T[K]Δ{δ}(11)
因此判断稳定性的能量准则可变为
如果Δ{δ}T[K]Δ{δ}>0，则稳定平衡；
如果Δ{δ}T[K]Δ{δ}<0，则稳定不平衡；
如果Δ{δ}T[K]Δ{δ}=0，则临界平衡。
式中[K]为刚度矩阵，如果[K]正定，则平衡是稳定的；如果[K]负定，则平衡是不稳定的；如果[K]奇异，即det[K]=0，则平衡处于临界状态，它对应的荷载就是临界荷载。
（二）结构稳定性的评价指标
对于稳定性评价指标，最直观的即为稳定安全系数。对斜拉桥的整体稳定性能，规范并没有明确规定斜拉桥的整体稳定安全系数。一般来说，结构的稳定安全系数是相对于某种特定荷载而言的。在非线性稳定分析方面，对加载方式目前还没有统一的根据，它的选择大多取决于设计者的意图，目前对于稳定安全系数的计算主要有两种方法。
1、第一种方法
对于斜拉桥施工过程中各状态以及成桥状态的整体非线性失稳安全系数，现定义为结构在丧失承载能力前所能承受的荷载量与设计荷载量的比值。即：
{Pcr}=λ{Psj} （12)
式中：λ—稳定承载能力安全系数；
{Pcr}—某工况下结构在失稳时的总荷载(包括恒载、活载)：
{Psj}—某工况下结构的设计荷载(包括恒载、活载)。
结构稳定安全系数λ为：
λ={Pcr}/{Psj}（13)
2、第二种方法
结构失稳时的总荷载可表示为：
{Pcr}={Pd}+λ1{P1}（14)
式中：{Pcr}为结构总的失稳荷载；
{Pd}为此阶段开始施工前的恒载；
{P1}为施工阶段新增恒载或成桥阶段的活载；
λ1为结构失稳时相对于{P1}的加载倍数。
结构稳定安全系数λ为：
(15)
这两类稳定安全系数的定义都能反映出斜拉桥的稳定安全储备。第一种定义反映了结构对所有荷载的安全储备能力：第二种定义将结构现有恒载看作不变量，仅考虑结构新增恒载或活载的安全储备能力。
虽然工程结构的失稳大多属于第二类稳定问题，但作为第二类稳定问题的上限，第一类稳定问题的特征值求解还是具有一定的应用价值，在一个粗略的范围内它能够评价结构的稳定性。斜拉桥第一类稳定性的安全评价标准一般参照斜拉桥试用规范，要求第一类稳定安全系数大于4。
根据国内已建桥梁的设计经验，在结构的空间分析模型中，考虑几何非线性及单根构件极限承载力的影响后，只要稳定安全系数在2.0以上，结构稳定性可以得到保证。因此，斜拉桥第二类稳定性的安全评价标准为其稳定安全系数应大于2.0。
五、结论
（1）介绍了稳定理论及其发展概况；
（2）详细地论述了两类稳定问题；
（3）简要叙述了稳定问题失稳判别准则，探讨了斜拉桥稳定性的两种评价指标。
【参考文献】
[1]李国豪.桥梁与结构理论研究.上海:上海科学技术出版社,1983.
[2]曾庆元.斜拉桥稳定问题简介及塔柱与主梁自由长度计算.长沙铁道学院学报,1991,22(3):22-26.
[3]葛耀君.斜张桥平面内的稳定分析.东北公路,1990,39(1):59-66.
[4]颜海.大跨度斜拉桥扁平钢箱梁整体—局部相关稳定问题研究.博士学位论文,上海:同济大学,2003.
[5]李存权.结构稳定和稳定内力.北京:人民交通出版社，2000.
[6]交通部重庆公路科学科研所主编.公路斜拉桥设计规范(试行).北京:人民交通出版社,1996.
【作者简介】
黄泽权（1978-），男，福建福州人，重庆市轨道交通设计研究院有限责任公司设计人员，硕士研究生。
