引 言
索是一种重要的结构构件，受力的合理性使得由其组成的结构一般具有较大的跨越能力，索的计算理论因此也引起了众多学者的关注. 关于索的分析有多种方法，其中，解析索单元法由于基于索的静力解析解而具有很高的精度. 该方法源于O’Brien的柔性迭代法，Peyrot 等将其发展成为一种基于刚度法的单元，Jayaraman 等。则进一步给出了刚度矩阵的显式表达. 其虽然不是真正意义上的有限元法，但从结构分析角度来看，仍可作为一种结构矩阵分析方法纳入有限元法的框架中与其他类型单元一起使用. 采用不同的变量形式，解析索单元有多种本质上相同的表达形式，这里针对的是 Jayaraman 的形式，它也是目前被广泛采用的。
由于 Jayaraman 给出的解析索单元是以 Peyrot等的理论为基础的，其温度计算实际上承袭了Peyrot 的方法，即采用某一温度下的无应力长度作为公式中的无应力长度进行计算，现有文献基本都采用了这种方法. 该方法存在的一个问题是，温度应变和静力应变计算采用的参考状态实际上不同，前者针对的是真正的无应变状态，而后者则相当于以前者的结果作为参考状态. 这显然是不尽合理的，两种应变的叠加也是不严谨的. 对于悬索的计算而言，严格来讲均应以无应变状态作为参考状态. 针对这一问题，本文对已有推导过程作了适当修正，以使得应变的参考状态均为无应变状态。
理论推导
关于考虑弹性的情况，O’Brien 等并未给出合理的推导，Jennings对其的讨论也并未给出严谨的推导过程，而 Peyrot 和 Jayaraman 的工作基于的是前两者的结果. 考虑到问题的等价性，本文采用Irvine 等的推导方法.如图 1 所示的索段, 悬挂于 A,B 两点，两点水平和竖直间距分别为 l 和 h, 取自原点 A 至索上一点的索段做受力分析，在理想柔性和线弹性假定下，由x 和 z 两个方向的平衡条件可得
其中，s 表示无应变时的弧长坐标，p 表示变形后的弧长坐标，H 和 V 分别是端部拉力的水平和竖直分量，T 为索拉力，q 为索无应变时每延米重量.
其中，E 为索弹性模量，A 为索在无应变状态下的截面积，与 Irvine 等不同的是这里考虑了温度效应的影响，α 为线膨胀系数，∆t 为温度变化，以温度升高为正. 由几何条件显然有关系式
在前面基础上利用链式微分法则
及两端边界条件
为索无应变长度. 式 (2) 和式 (3) 即为考虑温度效应修正后的索静力控制方程. 值得注意的是，这里计算需要的参量 (q 和 A) 均是无应变状态下的，而这正是工程中容易知道的. 相比而言，传统方法则需要变形后的各参量，因其未知而需要通过迭代来获得，或是直接不区分弹性变形前后两种状态. 利用对数函数和反三角函数的关系，式 (2) 和式 (3) 也可写成反三角函数形式.由于式 (1) 中的温度和静力应变针对的都是无应变状态 s，由此得到的式 (2) 和式 (3) 便解决了本文提出问题. 文献 [9] 对悬索桥主缆的温度效应采用解析方法进行了分析，但其公式实际上相当于将Peyrot 方法展开，并未解决上述问题.图 2 为一局部坐标系下的两端坐标差为 (l,h)的悬索单元 IJ. 为与文献 [4] 一致，在图 2 所示的坐标系下进行适当的变换 (变换时可直接利用标量和矢量的性质) 可得相应的表达形式。
这样，就可以采用 Newton--Raphson 法进行计算求得一定条件下的索端力，具体的求解方法可见文献 [4]. 关于迭代初始值的选用可参考文献 [4,11].这里的表达式与文献 [4] 基本相同，不同之处在于对温度效应的考虑进行了修正.
2 算 例
这里给出文献 [3] 中的一个经典算例，众多关于解析索单元的研究均对此例进行了计算，由于其涉及温度变化问题，尤其适合本文. 如图 3 的悬索，其参数分别为：
两端高差为 60m，水平距离分别取 20m, 40m, 60m,80 m 和 100 m. 计算在这组参数下，索跨度取不同值时右端索力的水平和竖直分量.
分析时取用一个索单元，采用位移和力的双重收敛准则，收敛准则 eps = 1.0 × 10−6，结果如图 3所示，采用两种方法计算得到的索端力如表 1 所示.表中原方法结果与文献 基本相同，括号中为两种方法的对比误差 (以原方法为基准).采用本文方法时，计算结果有些差别，但差别不大，随着跨度的增加，两者的差别呈增大的趋势. 这是在预料之中的，因为随着索逐渐被拉直，长度的微小变化都会造成索力的较大变化. 对实际问题而言，两种方法的计算结果也不会相差很大，但本文方法显然要更加合理.
3 结 论
对已有的解析索单元在考虑温度效应时存在的问题进行了修正，使得静力和温度应变均以无应变状态为参考态，算例说明了其合理性. 本文完善了经典的解析索单元理论.
