3.悬索桥空缆线形计算的非线性有限元法
悬索桥空缆线形计算的非线性有限元法主要有两种方法。第一种是循环前进分析法，就是事先假设悬索桥的主缆、吊索、主塔、加劲梁等构件的无应力长度及鞍座、索夹的预偏量。通过模拟施工过程，结构体系转换，用几何非线性有限元方法计算得到成桥状态的有关结构几何形状参数，将其与设计的成桥状态结构几何形状参数进行比较，若不满足精度要求，则修改假定的主缆线形及鞍座、索夹的预偏量，重复上述计算过程，直到满足精度要求为止。这样就可以得到主缆的无应力长度、初始线形及鞍座、索夹的预偏量等。
第二种方法是倒拆分析法，就是将成桥状态作为初始状态，按照与实际施工架设顺序完全相反的过程，对结构进行倒拆。首先卸去桥面铺装，然后再逐一拆去加劲梁段，最后只剩下主缆、鞍座、主塔，逐次求出每一阶段的平衡状态，最后就得到悬索桥的空缆状态。在倒拆分析中，作为计算的初始状态一般根据设计条件是已知的(这对于悬索桥而言本身就是很困难的)，而且悬索桥是几何非线性程度相当高的结构，这将会导致单用倒退分析确定悬索桥空缆线形结果失真，还需要用前进分析进行校核，只有前进、倒退交互迭代，才能得到较准确的空缆线形。
3.1 用Ansys进行非线性有限元分析的方法和步骤
用Ansys进行结构分析时，应根据结构特点和分析目的选择适当的单元类型。就悬索桥空缆线形分析而言，主要关心的是主缆、主梁的位移以及吊杆的拉力等，而对于其他一些结构细部的详细应力状况暂时可以不考虑。这样就可以将悬索桥简化为平面的杆系结构，既达到计算目的，又使计算简单化，节省计算时间。
在Ansys中提供了一种单元BEAM3，通过两节点i，j 定义，其左右截面是完全对称的，可以用来模拟主梁。悬索桥的索塔一般采用混凝土结构，截面形状上小下大，这就需要用BEAM54来模拟，BE八M54单元与BEAM3单元的主要区别在于前者可以表示左右截面特性不对称的粱单元。在主梁截面有变化的地方也可以用BEAM54模拟。主缆可以用LINK1单元模拟。该单元是一个两维的轴向拉压直线杆单元，当主缆单元划分得很小的时候，主缆垂度的影响就微乎其微了，笔者经计算比较得知用这种单元模拟主缆的精度是能够满足要求的。
大量计算研究表明，当悬索桥各构件的无应力长度及作用在结构上的荷载确定后，结构最终的约束条件也是确定的，那么其最终状态也是唯一确定的。反之，只要悬索桥的最终成桥状态主缆线形和结构内力确定，其空缆线形也是唯一确定的，而与施工方法无关。因此在计算悬索桥空缆线形时，通过假设主缆初始位置和成桥线形，再计算出悬索桥各构件的无应力长度，可以假定一种比较简单的施工过程（如全铰接法）达到最终的成桥状态，这样就大大简化了计算。
用Ansys建模时，按假设的空缆线形及各构件无应力长度确定各单元坐标，主缆和吊杆采用LINK1单元，索塔采用BEAM54单元。主梁一般采用BEAM3单元，在梁截面有变化的地方可以采用BEAM54单元，主梁分段处先采用两个不同的节点表示（如图2所示），然后根据不同施工阶段梁段间的约束情况用约束方程表达，如开始时各梁段只是各自独立地悬挂在主缆上，彼此间并没有联系；第二步调整各段主梁位置，将梁段相接点铰接，这时可以令梁段相接点的两个节点纵向和竖向位移满足一定的关系，使得发生位移后梁段相接处的两个节点坐标重合，但绕2轴的转动是自由的；最后使梁段相接处两节点的转动位移相等，这样各梁段就实现了刚接。
图2 梁段位置示意图
通用有限元程序Ansys提供了两种方法来处理特殊节点的自由度关系——节点耦合和约束方程。在悬索桥空缆线形分析时，主要注意主缆的线形和吊杆的拉力，因此可以按主索鞍上理论交点计算，令主索鞍上理论交点与塔顶点竖直方向自由度耦合，水平方向自由，就形成了主索鞍在塔顶上的随受力情况不同的自由滑动。对于摇轴式散索鞍，可以在这两点之间设一刚性连杆；而对于滑动式散索鞍，索鞍会沿一个斜面滑动，可以令散索鞍理论交点的罡直和水平方向位移满足一定的约束方程以满足条件。
至此，可以根据假设的主缆空缆线形和吊杆长度等数据建立有限元模型。求解时采用前进分析方法可分为四个步骤：①首先将全部梁段安装在主缆上（因为荷载分阶段施加与一次施加的效果是相同的）；②再将各梁段相接点铰接；③而后刚接；④最后是施加二期恒载。
采用循环前进分析法计算悬索桥空缆线形的方法和步骤，计算流程图见图3。如果经多次循环误差仍不能满足要求，就应该按最后一次有限元计算的结果反推空缆线形重新计算。这种方法力学概念明确，考虑了一、二期恒载均由主缆和加劲梁共同承担的实际情况，能够比较方便地模拟各关键工况下的主缆、主梁以及索塔的位移受力情况，也可以考虑温度以及索塔变形对悬索桥空缆线形的影响。但计算中鞍座的模拟是困难的，无论采用多个刚性的杆件还是用将鞍座和索融为一体的鞍座一索单元都不能让主缆与鞍座的切点随着主缆的受力情况而不断改变，这时可以先不考虑鞍座的影响，计算出吊杆的应力(这样计算对吊杆力的误差影响很小)，再通过数值解析法计算鞍座的修正，确定鞍座的位置。实践证明这是一种行之有效的方法。以下将通过两个不同跨径的悬索桥空缆线形计算，说明使用这种方法时的关键性问题。
图3 有限元计算流程图
4.算例
悬索桥的跨径布置千变万化，有单跨双铰、三跨连续等多种形式。但只要知道悬索桥具体的结构布置，其空缆状态的线性分析基本方法还是相同的。本文以两座不同跨径的单跨双铰悬索桥为例。对悬索桥空缆线形计算的方法进行了分析总结。
4.1 宁波甬江庆丰桥空缆线形计算
宁波甬江庆丰桥为一座单跨双铰双塔双主缆钢箱加劲粱地锚式悬索桥，其总体布置见图4。跨径为280m，主缆矢跨比1/8。
空缆状态下的线形计算时，首先将一、二期恒载按照长度分配给每根吊杆，计算出各吊杆拉力，据此用数值方法计算成桥主缆线形、各索段无应力长度，进而计算鞍座的预偏量和空缆线形。根据成桥主缆线形和桥面标高可以计算成桥吊杆长度，减去由于拉应力产生的伸长量可以得到吊杆的无应力长度。再据此计算各梁段的位置，用Ansys建立有限元模型，为了提高计算精度，将两吊杆之间的主缆划分成4个单元，每侧边跨主缆分成16个单元，每侧锚跨主缆分成两个单元，每根吊杆采用一个单元，主缆和吊杆都是采用LINK1单元。每个索塔按照截面变化分成3个单元，索塔采用BEAM54单元。主梁按照安装节段分成56个单元，采用BEAM3单元。全桥共有237个单元，索塔顶端节点与主缆理论交点y方向的自由度耦合，散索鞍处节点的x和y方向位移满足一定的约束方程，以模拟散索鞍的滑动。采用全铰接法前进分析得到成桥状态主缆线形、吊杆拉力及主梁内力等数据。从有限元计算的结果可以看出，吊杆拉力与先前的假定值相比有较大的差别。再以非线性有限元计算得到的吊杆拉力用数值方法计算成桥主缆和空缆线形。再据此进行有限元计算，反复进行几次计算直到二者计算的结果相差很小。
图4 宁波甬江庆丰桥总体布置图
表1给出了各次计算的结果。从表中可以看出，第3次计算的结果与第2次计算的结果相比，数值方法计算的空缆线形、鞍座预偏量、主缆长度都相当接近。数值方法计算的成桥主缆线形与有限元分析的最终成桥线形也十分接近，误差最大的在跨中位置，竖向的误差为7mm，这在实际工程中是完全可以接受的。由于宁波庆丰桥的桥面标高是不对称的，用有限元分析可以更准确地反映结构的实际情况。
表1 宁波甬江庆丰桥计算结果
通过以上的分析计算，对于这种跨度比较小的悬索桥，由先假定吊杆力，用数值分析的方法确定成桥主缆线形和空缆线形及各吊杆无应力长度，据此建立有限元模型通过前进分析得出成桥状态，再与前面的假定比较。如果误差较大，则以新的吊杆力代人重新计算，如此反复迭代，只需三次就能使误差满足要求，得到较精确的空缆线形，在此基础上可以进一步分析得到悬索桥在施工中各主要工况主缆线形和主梁受力情况等关心的数据。
4.2 虎门悬索桥空缆线形计算
虎门悬索桥是一座单跨双饺悬索桥，总体布置见图5。
图5 虎门大桥总体布置图
与此前一样，也是采用反复迭代的方法。有限元计算时全桥共分成367个单元。其中主缆采用LINK1单元，共分成143个单元。吊杆也采用LINK1单元，共72个单元。加劲梁采用BEAM3单元，共分成146个单元。两索塔也采用BEAM3单元，各分成2个单元。另外用两个刚度极大的LINK1单元分别模拟两个散索鞍的转动。表2给出了计算结果，从表中数据可以看出第3次与第2次结果相当接近，但跨中主缆标高与设计值（图5）仍存在一些差异。如果再次用第3次计算得到的吊杆力，重新用数值方法计算成桥主缆线形和空缆线形。得到的结果将和前一次相差无几。
这样就很难得到准确的空缆线形。所以，可以根据第3次计算得到的各吊点的纵向位移、跨中点的竖向位移和各鞍座的位移用数值分析方法反算各吊点空缆时的坐标，再根据新的空缆线形建立有限元模型进行非线性有限元分析，这样就可以达到设计的成桥线形。具体计算结果见表3。主缆无应力长度为1636．8m。
表2 虎门悬索桥计算结果（m）
表3 虎门悬索桥空缆线形计算结果（m）
最后一次计算得到的成桥主缆线形和鞍座位置与设计值很接近，误差基本在工程实际应用所允许的范围内。这说明本次计算所采用的空缆线形是可以接受的。可以据此分析得到虎门悬索桥在施工中各主要工况主缆线形和主梁受力情况等。
由于悬索桥空缆线形计算的数值分析法中很难计入温度的影响因素，以上两个算例中有限元计算时也没有考虑温度的影响，这主要是为了计算条件能与数值分析法相同，这样才能比较计算结果。
5.结论
通过以上的分析计算可以得到以下一些结论：
(1)将数值分析法和有限元法相结合，可以比较快地确定悬索桥的空缆线形。
(2)对于跨径在300m左右及以下的中小跨度悬索桥，无论用数值分析方法还是非线性有限元方法计算其空缆状态主缆线形，结果比较接近。
(3)对于跨径在800m左右。甚至更大跨径的大跨度悬索桥，用数值分析方法还是非线性有限元方法计算其空缆状态主缆线形。结果有较大的差别。
(4)用数值方法计算空缆线形时，不能将整个结构体系作为一个整体分析。只有非线性有限元法才能得到以后各关键工况下的全桥各部分的线形和应力状态，所以悬索桥的空缆线形分析最终还是要与非线性有限元分析的结果吻合。
(5)通过有限元计算发现，成桥时的吊杆拉力是很不均匀的，并不能简单地用恒载集度按照吊杆间距直接分配给各吊杆，这一点尤其在大跨度悬索桥中表现得更加明显。所以，第一次用数值分析法计算空缆线形时可以用平均分配的方法假定初始吊杆力，然后用有限元计算得到的真实吊杆力修正。
参考文献
[1] 项海帆：高等桥梁结构理论，北京：人民交通出版社，2001。
[2] 肖汝诚、项海帆：大跨径悬索桥结构分析理论及其专用程序系统的研究，中国公路学报，1998；(4)。
[3] 张新军、陈艾荣等：悬索桥施工理想初态及成桥状态计算方法研究，上海铁道大学学报，1999；(6)。
[4] 潘永仁、范立础：大跨度悬索桥加劲梁架设过程的倒拆分析法，同济大学学报，2001；(5)。
