悬索桥计算数值方法研究
2018-01-22
前言
对于大跨度悬索桥的施工控制需要确定悬索桥主缆的初始理想状态以及成桥状态，通常计算都采用有限元法和解析法，有限元法一般根据成桥的线形和受力情况，迭代出空缆状态的线形和受力；解析法则根据成桥设计线形计算主缆无应力长度，利用任何情况下主缆的无应力长度不变的原理计算结构参数，一般在解析法在数学方法上采用牛顿迭代法或拟牛顿法进行计算。
本文结合主缆的实际情况：采用分段悬链线法计算，此法是考虑除主缆外的一期恒载及二期恒载作为多个集中力作用在各吊点处，主缆在各吊点之间线形为悬链线。并在计算结构参数时考虑主缆的自重约束方程，即荷载集度在施工过程中不断的变化，主缆总的质量不变；根据主缆在主索鞍处的受力情况，以及中边跨空缆与成桥状态下无应力长度相等；在数学方法上进行改进，采用精度更高、收敛更快、计算更稳定的新Aitken迭代方法和同伦算法计算悬索桥的结构参数。
1.分段悬链线的计算方法
1.1 基本假定：
（1）主缆材料为线弹性，符合胡克定律；
（2）主缆是是理想柔性的，只能承受拉力，不能受压，截面抗弯刚度对主缆线形影响忽略不计；
（3）忽略主缆横截面在变形前后的变化；
通过以上假定，主缆的自重恒载集度沿主缆索长为常量，但变形前后可以不一样。
1.2 分段悬链线法原理
考虑加劲梁的一期恒载及二期恒载作为多个集中力作用在各吊点处，此时主缆线形在各吊点之间为悬链线，取任意两吊点间自由悬索建立坐标系，以竖向为 方向，向下为正，水平向为 方向，向右为正，主缆上任意一点的拉格朗日坐标为 ，对应的笛卡儿坐标为( , )，如图1所示。
式中： 为成桥状态主缆集度， 、 分别为塔顶主缆水平力和竖直力；
1.3 利用数学方法Aitken迭代计算竖向力
工程中常常会遇到许多非线性方程求根的问题，对于这一类的问题，一般不能用解析方法求得其解，而只能利用数值方法求得其近似解，目前常用的是牛顿迭代法，本文将Aitken迭代法结合实际工程，运用其求解，与牛顿迭代法进行比较。
本文采用了一种新的Aitken迭代法，新算法将二分法和迭代法结合起来，先用二分法预报初值，当区间缩小到一定程度时再用改进的Aitken算法迭代。
1.3.1 计算竖向力
假定索鞍水平力初值 、竖向力 和 可以通过式(2)求得 ，式(3)可求得 ，再由 通过式(2)求得 ，式(3)求得 ，按类似的方法进行计算，一直计算到 ，并对 和 进行修正，计算 。直到 , 为收敛精度，且同时满足跨中斜率为0。
1.3.2Aitken迭代法求解
（1）一般Aitken算法
1）简单迭代格式：= ， ；
2）加速迭代格式： ；
如果 则将 赋值给 ，并修正 ( ＝ + ）；重复上面的式（1），（2）直到满足精度要求，迭代停止，输出 、 。
观察图2在相同初始迭代值、相同精度要求下，通过三种不同的数值迭代方法计算，新Aitken算法二阶收敛，与牛顿法相比，新算法在迭代过程中，不需要计算导数值，减少了工作量，计算结果表明新的Aitken算法相比一般的Aitken算法和牛顿算法更快收敛，计算时可以节约计算时间。
2.空缆状态下结构参数计算
2.1 主索鞍预偏量计算
主索鞍预偏量的计算原则:保证各跨主缆无应力索长空挂于主索鞍上，主缆在主索鞍槽内不发生相对滑动。下面针对大跨度单跨不对称悬索桥, 根据无应力长度不变的原则列出下面的变形协调条件，自重约束条件和力学平衡条件:
（1）几何变形协调条件：中、边跨主缆无应力长度在任何阶段、任何状态都保持不变。
（2）自重约束条件：主缆的重量在任何状态下都保持不变。设主缆无应力状态时集度为 ，无应力长度为 ，成桥状态时集度为 ，主缆索长为 ，空缆状态时集度为 ，主缆索长为 则有：
（3） 力学平衡条件：空缆在索鞍两侧的水平力相等，设左索鞍预偏量为 ，右索鞍预偏量为 。
（4）根据式（1）、（2）、（3）得到以下方程组：
式中： , 表示左、右边跨空缆时索长， , 表示左、右边跨成桥时索长， 表示左、右边跨无应力自重集度， 分别为中跨、左边跨、右边跨主缆在空缆、成桥时伸长量， 、 表示左、右边跨成桥时自重集度。
式（4）中第一式和第二式可以采用新Aitken迭代法求解左、右边跨主缆成桥集度，联立第三式至第八式得到非线性方程组。工程计算中，经常遇到需要求解非线性方程组的问题，非线性方程组的收敛速度及收敛性都比线性方程组要差。在求解非线性方程组时，牛顿迭代法是比较经典的方法，其在局部收敛点附近是平方收敛的，但其解与初始解有关，且迭代过程中需要求导，计算量非常大且有时会出现计算困难。本文提出采用同伦算法，是基于其在大范围收敛，并对初始值没有严格限制，其思想是从容易求解的方程组开始，逐步过渡到原方程组的求解，最终求得方程组的近似解，下面简单介绍一下同伦算法的相关内容：
设非线性方程组为： ，其解为 。
（1）构造泛函 ：； 定义为：(其中： 为任意给的初值，假定为 函数（ )；
（2）对于 的方程 ，当 时， ； 是方程的解；当 时， ； 是方程的解，即 = ；
（3）基于这个思想最后得如下关系式： ( ，对初始值 )； 为雅可比矩阵，对 在 上积分，就可得到 = ；上面的非线性方程组问题就转化为数值积分问题。
本文采用同伦算法求解非线性方程组，结合Matlab语言编写求解程序，使用时只需修改相应的雅可比矩阵和非线性方程组表达式，便可求解。
3.算例
本文编写悬索桥通用计算程序，为说明本文程序正确性，下面通过算例进行验算。
算例1. 江苏江阴长江大桥为主跨1385m的单跨钢箱梁悬索桥，中跨主缆的设计参数：E=1.9×1011Pa， A=0.9027m2，无应力状态下的沿索长的均布荷载集度q0=77.70kN/m；边跨主缆的设计参数：Eb=1.9×1011Pa，Ab =0.9526m2，q0=81.99kN/m；
算例2. 贵州某大桥为主跨636m的单跨简支钢桁梁悬索桥，结构布置及几何尺寸如图3所示，成桥中跨主缆（单缆）的设计参数：E=2.0×1011Pa，A=0.16916m2，荷载集度q0=15.755kN/m；边跨主缆荷载集度q0=15.01kN/m；
4.结语
（1）在悬索桥的结构参数计算中，本文考虑主缆自重约束方程，将主缆集度在不同的施工阶段变化考虑进去，计算更为精确。
（2）新Aitken迭代在相同精度要求下能减少迭代次数，降低计算量，并能克服发散现象，收敛速度快、计算精度高，初值选择范围大。
（3）同伦算法能解决拟牛顿法是在一定条件下计算时超收敛的，稳定性差，迭代效果不理想的问题，其收敛范围也比牛顿算法扩大了，而且精确度也比原算法提高了。本文在解析迭代计算中采用新Aitken迭代法和同伦算法结合实际工程，运用其求解，通过比较发现其是非常有效的求解数值方法。
