混凝土斜拉桥的优化设计
2018-04-16
混凝土斜拉桥优化被归结为多目标优化问题，其目的是获得最低成本，最小偏移和应力，并寻求帕累托解决方案。通过凸标量函数的最小化发现了该解决方案。数值方法允许缆索安装力、缆索调整力和斜拉索区域、桥面和桥塔横截面的计算，以满足整个结构位移和应力，无论是在架设期间或竣工。因此本文所提出的优化算法可以被用来研究拓扑和几何设计变量的效应。
在MATLAB开发的计算机程序被用于结构分析、灵敏性分析和优化。结构分析采用一种有限元模型，其包括由于混凝土施工顺序、几何非线性和时间依存性效应造成的负载历史和几何变化。施工过程和混凝土流变行为显著影响了混凝土斜拉桥的应力和变形。在分析中，同样应考虑处理缆索或大型灵活结构时产生的几何非线性情况。
1.时间依存性效应建模
在这项研究中，根据欧洲规范2公式进行评估混凝土的蠕变、收缩和老化的时间依存赖性效应。蠕变模型基于线性粘弹性及考虑老化影响。收缩应变依存于时间，但与应力无关。由作者在最近的研究工作中提出了有关时间依存性效应建模的详细考虑。
1. 1混凝土老化
由于固化的结果，混凝土的强度和弹性系数随时间增加。在早期，强度和弹性系数迅速增加，然后增加逐渐停滞，但不会完全停止。根据EN1992-1-1（2010），天数t，混凝土的弹性系数由下式给出（1）。
其中，Ecm是混凝土弹性系数在28天内的平均值，t是混凝土固化天数，s是取决于水泥类型的系数。
1.2混凝土蠕变
在时刻t0施加单轴应力σc的混凝土试件，其在时刻t的总应变可以写成相关应力？ca（t，t0）和与无关应力？cn（t）的总和，应变为（2）。
其中J（t，t0）是蠕变功能；如果应力小于45%的混凝土抗压强度标准值，则叠加原理是有效的，并且蠕变应变随着所施加的应力而线性变化。
在施工阶段和结构使用寿命期间，斜拉桥的应力不断变化。根据变量的应力以及使用叠加原理，方程（2）可改写为（3）。
已经提出了几种方法来解决这个方程，包括简化方法，逐步数值积分以及蠕变函数的粗略估算。在这篇文章中，由Dirichlet级数（Bazant，1988）概略估算该蠕变函数，从而得到（4）。
其中，n是Dirichlet级数的项数，系数aj通过使用最小二乘方法从曲线拟合得出。系数1/aj被称为延迟时间，并被选择来覆盖用于计算蠕变系数的时间值范围以。
1.3混凝土收缩
根据EN1992-1-1（2010），在时刻t的总收缩应变？cs（t），是自收缩（？ca）和干燥收缩（？cd）的总和。时刻t的干燥收缩被定义为（5）。
其中，系数βds（t，ts）和kh取决于构件理论尺寸和混凝土干燥收缩开始时刻。参数εcd（t）取决于环境相对湿度、水泥类型和混凝土抗压强度。
自收缩是混凝土早期硬化期间化学反应的结果，它可以通过时刻t由以下公式表示（6）。
其中，εca（∞）是自收缩应力的长期值，βas（t）是自收缩随时间演变的函数。
1.4时间依存性效应模拟
在结构分析中，通过产生相同位移场的等效节点力模拟时间依存效应，并将其作为时间依存性效应及从中计算出实际变形状态。每个时间间隔，使用有限元公式和相应的蠕变值以及根据先前提出公式计算出的收缩应变，将这些计算的应力作为初始变形。于是，仅用应力和机械原点变形之间的弹性本构关系计算该应力。
1.5几何非线性效应
斜拉桥中几何非线性有三个主要来源：由于自身重量造成下垂的非线性轴向力-延伸关联斜拉索；根据联合弯曲和轴向力，非线性轴向力和弯矩-变形关联桥塔和桥面；以及大位移引起的几何变化。在这篇文章中，通过二阶弹性分析方法考虑几何非线性效应。
考虑斜拉索中几何非线性的一种广泛使用方法是用于考虑能描述缆索悬索效应并具有等效弹性系数（Ernst 1965年）的等效直弦构件。
缆索等效弹性系数值由下式给出（7）。
其中，Eeq是等效的缆索弹性系数，E是等效的缆索材料弹性系数，y是缆索材料的比重，L是弦的长度，α是索弦与水平方向之间的角度，σ是缆索的张力应力。
二阶效应被认为是采用等效侧力法，也被称为虚拟侧向荷载法或P-A迭代方法，通常用于建筑结构二阶分析。
1.6包括架设阶段的结构分析
继施工阶段后，使用正向分析程序，进行架设阶段的建模和分析，然后获得整个施工的应力和位移，使其能直接考虑时间依存性效应。这适合于结构优化目的，因为在各阶段结束时和要求优化模块之前，可同时使用所有有关应力、位移及其灵敏度的信息。
在斜拉桥施工中，采用最普遍和广泛使用的方法――平衡悬臂施工法进行架设。施工一开始，要建造桥塔，并在桥塔的两侧开始悬臂施工。在随后的阶段，架设其他桥面节段和斜拉索，直到桥面合拢。
使用一个有限元计算机程序进行结构分析，该桥梁被构建成一个二维构架结构。该模型不考虑桥面扭转和结构的三维特性。然而，由于该研究以架设和使用情况为中心，因而利用二维模型是足够用的。 2.优化设计公式
在斜拉桥的优化设计中，由于设计变量数量高且设计目标非线性特征也会产生冲突，因此搜索空间很复杂。这里作为一个多目标优化问题被提出，从中获得帕累托最优解向量。这意味着在不增加至少一个目标的情况下，不存在其他可行的能降低一个目标的向量。它涉及设计变量、设计目标和目标函数的定义。
2. 1设计变量
考虑的设计变量是斜拉索区域、预应力、桥面和桥塔的横截面尺寸。设计变量用xi来表示，而全球设计变量向量是（8）。
斜拉索由0.6英寸直径的钢索制成（15.7mm的公称直径和1.5cm2的横截面积）。对于桥塔的横截面，考虑使用矩形空心型钢，对于桥面考虑使用三种横截面类型：梁板、单室箱和三室箱。桥面和桥塔的横截面设计变量对减重（或降低成本）有直接的影响。斜拉索区域和斜拉索索力在整个结构的应力分布中发挥极为重要的作用，因为斜拉索区域和斜拉索索力对桥面的梁型特性的范围作出了定义。此外，斜拉索区域和斜拉索索力是调整桥梁几何形状和扰度控制的基础，否则可以只通过桥面的严格加劲来实现，这与预期的减少材料相反。
2.2设计目标
斜拉桥的设计涉及到实现一些设计目标，以检验使用和强度标准。该目标应以规范化的形式来配置。这些目标会因处于施工阶段及恒载和活荷载下的整个桥梁位移和应力极限值而产生。该设计还应力求将该结构的成本降至最低。考虑到这一点，第一个目标可表示为（9）。
其中，C是该结构的现时成本，C0为参比成本，这对应于每个分析和优化周期的初始成本。这确保了在每个周期，成本始终是优化算法的主要目标之一。该结构的成本被当做材料成本（混凝土、加强钢和预应力钢）。这些材料的单价可以通过咨询葡萄牙供应商公司而获得。第二组目标产生于限制桥面的垂直位移和桥塔的水平位移，以获得要求的最终桥面纵剖面，并使桥塔弯曲扰度最小化（10）。
其中，δ和δ0分别是位移值和控制下的位移限值。
第三组的目标会因处于施工阶段和恒载下的整个桥梁桥面位移和桥塔应力极限值而产生。这些目标都与使用情况有关。
根据欧洲规范2（EN1992-1-1 2010）的建议，混凝土的抗压应力限定为45%的混凝土抗压强度（fck）的特征值，从而使混凝土保持在线性蠕变范围内，并预防纵向开裂。混凝土拉应力限定为5%的混凝土典型轴向抗拉强度的分位数（fctk，0.05），以避免开裂，确保耐久性，得（11）、（12）。
其中，σc是在混凝土构件的作用应力。使用抗拉和抗压应力及相应的容许应力时，要考虑相应的信号。
也应对混凝土构件的最大应力进行检查。该目标可以表示为（13）。
其中，σc是在混凝土构件的作用应力，σallow是抗拉或抗压中相应的容许应力。作用应力通过作用轴向力（NEd）和弯矩（MEd）计算得出。容许值被确定为一个应力，等同于横截面组合的轴向力-弯矩设计阻力（NRd；MRd）。此值通过混凝土构件相应横截面产生的无量纲交互图获得。对于这些计算结果，加强钢区域不是一个设计变量，被认为是混凝土截面积的 2%。这被用来作为混凝土构件的加强钢区域的平均值，表示普遍的实用价值。
斜拉索中应力的剩余目标为（14）、（15）。
其中，σ和fpk分别是斜拉索中的作用应力和预应力钢抗拉强度的特征值。如果作用应力大于0.1fpk，则方程式（14）适用；如果作用应力小于或等于0.1fpk，则方程式（15）适用。斜拉索拉伸应力的0.1fpk下限值被考虑，以确保其结构效能。方程式（14）中的k值等于架设期间的0.55，使用情况下的0.50和强度校核的0.74。
2.3目标函数
多目标优化的目标是最大限度地减少该组所有目标的设计变量。这通过最小最大值优化来实现，得（16）、（17）。
该问题是不连续、不可微的问题，因此不好解决。然而，如Simoes和Templeman所述（1989），可以通过一个不受约束的凸标量最小函数来间接获得该求解方法，结果是Kreisselmeier-Steinhauser函数（17）。这是连续、可微的问题，因此很容易解决。该函数只取决于一个控制参数p，它不能被减小。
我们的目标函数gj（x）没有一个明确的代数形式，只能通过一个特定的设计变量向量的结构分析结果得出数值。采取的策略是通过明确的近似模型迭代序列手段，来解方程式（17）。一个明确的近似值可以通过线性项后截断的所有目标函数gj（x）的泰勒级数展开式制定。该算法得（18）。
其中，N和M分别是设计变量数量和目标数量。goj（x）和dg0j（x）/dxi是根据当前设计变量向量（x0）计算的目标及其灵敏度，其中制定了泰勒级数展开式。g0j（x）特定数值求解方程（18）仅构成该问题完整求解方法的一个迭代法。使用MATLAB函数fmincon，进行目标函数的最小值计算，采用一系列二次问题，使处于约束范围内的各变量标量函数最小化。
该算法与多个起点相关联，提供一个优化的工程求解方法，通过重新排列斜拉索的支承刚度及桥面和桥塔之间的质量分布变得合理。目标函数使过程从一个可行或不可行的求解方法开始。
2.4敏感性分析
考虑到源代码的可用性和大量的目标（应力和位移）与设计变量数量相对，则采用分析直接离散方法，进行灵敏度分析。相对于设计变量的位移灵敏度通过区分平衡方程获得（19）～（21）。
可在形式上被重写，其中，Qvi是相对于ith设计变量的系统虚拟假载向量。位移灵敏度可表示为（22）。其中需要存储刚度矩阵，给刚度矩阵和右侧导数预编程序，以使位移导数可以通过N假载右侧求解方法来计算。应力灵敏度通过有限元应力位移关系的链求导来确定（22）、（23）。 在对导数表达式预编程序并请求这一阶段的条件下，右侧的第一项可在全球系统元素贡献计算期间直接计算出来。由于位移导数已知，则很容易计算出来右侧第二项。
3.数值例子和结果
3. 1数值模型的说明
数值模型涉及一个总跨径为284m，中跨距为148m的对称混凝土斜拉桥。桥塔的总高度为52m，桥面置于基础以上15m的位置。图1说明了作为示例桥的几何结构。
使用平衡悬臂施工法的按工序划分施工阶段。有关完整的桥，桥面到桥塔连接仅仅是垂直位置的连接，但要保证结构稳定，在假设阶段，该连接固定。
在施工阶段考虑采取的行动包括桥面自重和1.0kN/m2（这取决于人员及手动工具），0.5kN/m2（这取决于临时设备），和悬臂边缘上400kN的集中载荷（EN1991-1-6 2005）。
在第1阶段，在桥塔各侧执行第一桥面节段，并且安装第一对斜拉索。在以后的每个阶段，在桥塔各侧上对称地增加一个桥面节段和一个斜拉索。在第9阶段，在横向跨距末端处增加一个简单的支座；而第10阶段，在中跨处增加控制弯矩和轴向力的连接件，以模拟桥梁合拢。
在两个步骤（安装施力和调整力）中计算斜拉索施力。使用第3节中所描述的优化方法，来确定安装施力，以确保在第9阶段中桥面要求的几何结构（在横向跨距中增加支座并在主跨距中实现桥梁合拢），并且施工阶段期间该结构的应力要保持在容许限值内。要做到这一点，设计目标gj包括在第9阶段的位移及第9阶段和施工阶段期间的应力。在第10阶段，对索力进行了调整，以获得在自重和和额外恒载为2.5kN/m2（桥面、人行道、安全防护栏和护栏）的条件下，桥梁施工结束时要求的桥面纵剖面。在第10阶段后，对永久状态且没有时间效应影响下的桥梁进行了三种荷载情况的分析，要考虑最大应力的设计目标。荷载情况包括施加于整个桥面或仅施加于中跨或边跨上的恒载加上4 kN/m2（道路交通）的活荷载。
3.2设计变量
在所分析例子的数值计算法中，桥的整体几何形状和桥面宽度（19.0m）为预先指定的恒定设计参数。为确定定径设计变量，考虑了桥塔的两个区域和桥面的三个区域。桥面横截面的几何形状设计变量分析有三个选项：梁板、单室箱和三室箱截面。桥塔的设计变量，考虑了矩形空心型材。
3.3优化设计结果
实施例1：梁板横截面，例2：单室箱截面，实施例3：三室箱截面。索力从桥塔到中跨增加。对称分布的斜拉索力相似。最大力发生在平衡与边跨相比最大的中央跨度负荷支索上。支索力基本控制桥塔顶部的水平位移，从而控制桥塔弯曲变形和应力。这是斜拉桥充分结构行为的必要特征。实施例1、2、3的优化结果是成本分别降低17.8%、15.7%和19.1%。这是由于在新设计中，减少了桥面、斜拉索和桥塔的横截面。
永久荷载作用下的全桥桥塔顶部的水平位移约为1cm。结果表明，在结构收尾桥面的正应力仍在使用条件允许的范围之内，并且桥面几乎完全受压。总结了总成本和桥面成本、桥塔和拉索成本。可以说，实施例2的成本最小。桥面占桥成本最大，为总成本的68.8%-71.1%。拉索约占桥梁成本的12%，而桥塔占其余成本。
4.结论
综上所述，混凝土斜拉桥的设计作为一个多目标优化问题提出，涉及到拉索预应力和设计变量即拉索、桥塔和桥面的横截面尺寸。优化程序为整个结构的足够位移值和应力值提供了结构效率解决方案，证明离散直接法灵敏度分析（每次迭代只需要进行一次结构分析），在预测桥梁结构性能上是有效的。
鉴于相当数量的目标和设计变量，解决方案只由少量迭代后获得，因此本文中使用的优化算法是有效的。
