悬索桥结构几何非线性分析方法综述
2018-02-22
现代悬索桥通常主要由主缆、主塔、锚垫和加劲梁四大主体结构以及塔顶主鞍座、锚口散束鞍座或散束箍和悬吊系等重要附属系统组成。其最大特点为恒载作用在主缆内形成的 巨大拉力对后续活载作用下结构的变形有抵抗作用,结构具有不可忽略的几何非线性。因此 , 大跨度悬索桥的分析必须计入内力与 结构变形的影响,否则将引起较大的误差。
悬索桥结构的特性为几何非线性,主要可分为3个部分:
1) 主缆自重垂度的影响。
2) 荷载作用下结构的大位移。
3) 结构的初始内力影响。
人们对悬索桥结构特性的认识是一个发展过程,在这个过程中产生了弹性理论,挠度理论及有限位移理论。
1、 几何非线性分析基本原理
结构分析的目的,就是要计算出结构在外荷载作用下处于平衡状态时的位移和内力,这个平衡状态是已经发生了变形的状态而不是变形前的状态。在结构分析中,如果结构所发生的位移远远小于结构自身的几何尺寸, 则结构在外荷载作用下的平衡状态就可以和未受荷载时的位形不加区分,不必考虑结构位形的变化,以初始位形状态代替变形后的位形状态,也不会产生很大的误差,这就是结果线性分析；而当结构发生大位移、大转角时,与未受荷载时相比,结果位形已有了很大的变化,如果再用未受外荷载时的状态来代替这个状态,势必造成很大的误差 (如悬索结构)。结构几何非线性分析的实质就是要求出结构变形之后的平衡状态,然后求出这个状态下结构的内力。
根据虚位移原理,即外力在虚位移上所做的功等于结构因虚应变所产生的内力虚功,建立有限元几何非线性平衡方程得:
∫δ{ε}T{σ}dv-δ{u}T{f}=0 (1)
其中, {σ}为单元的 应力向量；{f}为单元的杆端力向量；δ{u}为虚位移；δ{ε}为虚应变。
位移应变关系用非线性形式表示为:
δ{ε}= [B]δ{u}(2)
消去δ{u}T, 得非线性问题的平衡方程为:
∫[B]T{σ}dv-{f}= 0(3)
式(3)的意义就是结构在外荷载作用下的平衡状态为结构内力与外荷载平衡时的状态 , 平衡条件建立在变形之后的位形上。当结构在弹性范围内工作时,最终的平衡状态是唯一确定的。
在非线性问题下,应变与位移的关系是非线性的,应变矩阵[B]是位移{ε}的函数。其可分为与杆端位移无关的线性应变矩阵[B0]和与杆端位移有关的非线性应变矩阵[BL]两部分, 即 :
[B]=[B0]+[BL](4)
考虑初应力{σ0}和初应变{ε0}时,单元应力应变关系可表示为:
{σ}=[D]({ε}-{ε0})+{σ0}(5)
其中 , [D]为材料的弹性矩阵。
在几何非线性分析中,按全量列式法得到的单元刚度矩阵和结构刚度矩阵往往是非对称的,对求解不利。因此,多采用增量列式法,将式(3)写成微分形式:
∫d[B]T{σ}dv +∫[B]Td{σ}dv=d{f} (6)
由式(2),式(5)得 :
d{σ}=[D][B]d{δ}(7)
再根据式(4)有 :
d[B]=d([B0]+[BL])=d[BL] (8)
令 :
∫d[B]T{σ}dv +∫[B]Td{σ}dv=[K]d{δ} (9)
则式(6)变为 :
[K]d{δ}={f}(10)
[K]= dv+∫[B]T dv=[K0]+[KL]+[K] (11)
式(10)即是增量形式的单元平衡方程,它表示了荷载增量与位移增量之间的关系,所表达的意义即位移一定的结构位形的改变相当于一定的外荷载的改变。其中,[K]为单元的 切线刚度矩阵；[K0]为单元线性刚度矩阵；[KL]为单元初位移刚度矩阵(或称大位移刚度矩阵)；[K]为单元初应力刚度矩阵(或称几何刚度矩阵)。
2、 几何非线性分析的基本方法
1) 增量法。增量法是指荷载以增量的形式逐级加上去,对每个荷载增量作用过程中假定结构的刚度是不变的,在任一荷载增量区间内节点位移和杆端力都是由区间起点处的结构刚度算出,然后利用求得的节点位移和杆端力求出相对于增量区间终点变形后的位置上的结构刚度,作为下一个荷载增量的起点刚度。
2) 迭代法。迭代法是将整个外荷载一次性加到结构上,节点位移用结构变形前的切线刚度求得,然后根据变形后的结构计算结构刚度,求得杆端力。由于变形前后的结构刚度不同, 产生节点不平衡荷载,为了满足节点平衡,将这些不平衡荷载作为节点荷载作用在节点上, 计算出相对于变形后的节点位移量,反复这一迭代过程,直至不平衡荷载小于准许值为止。
3) 混合法。混合法结合了荷载增量法和迭代法的优点,混合法中初始荷载和每次循环后的 不平衡荷载都是以增量的形式施加,在每个荷载增量后对刚度作一次调整,这样可以加快收敛速度,对于斜拉桥这种迭代次数要求较高的结构是很适宜的。
3悬索桥几何非线性分析
3.1 、 缆索自重垂度引起的非线性
在自由悬挂状态,缆索由于自重会产生垂度,当索的轴力发生变化时,其垂度也会变化, 垂度的变化又导致索弦长的变化。而弦长的变化与索轴力的变化是非线性关系。为考虑垂度 的影响,德国Ernst提出了换算弹性模量的概念:
Eeq= (12)
其中, Eeq为缆索的换算弹性模量；E为材料的弹性模量；l为缆索弦长在水平方向上的投影长度。
3.2、结构大位移引起的几何非线性
悬索桥在受外荷载作用时,不仅缆索及加劲梁发生下挠,而且吊杆也将伸长,索塔会压缩, 吊杆还将发生倾斜,节点还有水平位移,凡此种种,都对悬索桥内力产生影响。所以应该考虑轴力剪力和弯矩相互作用的二次效应,包括轴力引起的弯矩增量及弯矩引起的轴力增量。
3.3、 初始内力的影响
在前面的大位移分析中,切线刚度矩阵中所含的单元变形是总的变形,此变形包括了初始状态时单元由初始内力引起的变形和由初始状态到最终状态的变形两部分。 因此,在计算单元的刚度矩阵时必须计入由初始内力引起的单元变形。由于结构的变位,在初始状态下结构的内力与外力的平衡条件在新的状态下已不再成立,这将产生不平衡力,如同荷载一样作用于结构,使得外荷载对结构的作用表现出非线性。通常,初始状态下结构处于稳态平衡 , 后续荷载要打破这种平衡而建立新的平衡必须消耗能量。因此,初始内力的影响总是抵消外 力的作用, 即初始内力的存在提高了结构的刚度,我们称之为结构的内力刚度。初始状态的内力一般是由自重恒载引起的,所以,内力刚度通常又可称为重力刚度。对于大跨度悬索桥, 自重恒载引起的初始内力是很大的,因此,初始内力是悬索桥非线性的最主要影响因素。
4结语
悬索桥分析和一般杆系结构有限元分析方法不同,其非线性影响突出。本文主要介绍了悬索桥的几何非线性分析方法、主缆垂度非线性分析方法、结构大位移引起的非线性分析方法和初始内力引起的非线性分析方法。在悬索桥分析计算中,上述因素引起的非线性影响是比较突出的,对结构内力和线形产生较大的影响,必须充分考虑其影响程度,才能准确把握悬索桥结构的受力状态。
参考文献 : [1] 华孝良，徐光辉.桥梁结构非线性分析[M].北京：人民交通出版社，1997.
[2] 王瑁成，有限元法基本原理和数值方法 (第二版)[ M].北京：清华大学出版社，1997.
[3] 项海帆,高等桥梁结构理论.北京:人民交通出版社，2001
[3] 雷俊卿，郑明珠，徐恭义.悬索桥设计.北京:人民交通出版社，2002
