斜拉桥拉索自振频率分析
2018-04-16
1. 引言
随斜拉桥跨度的不断增大，斜拉索变得越来越长，因为索的大柔度、小质量和小阻尼等特点，极易在风雨、地震及交通等荷载激励下发生振动[1]。长拉索前几阶频率在0.2-0.3Hz时，模态阻尼比只有0.1%，更有可能发生大幅的摆动。迄今，已有许多斜拉索风致振动的报导：日本结构工程协会(Japan Institute of Construction Engineering) 在1988 年一年内对日本的五座斜拉桥斜拉索振动进行了观测和测量，发现它们的最大振幅如下：Brotoni桥达600毫米，Kofin桥达1000毫米，Meikeh桥达600毫米，Aratsu桥达300毫米，大约为直径的两倍。在国内，1992 年南浦大桥在一次风雨联合作用的情况下浦西岸尾部几根斜拉索发生了较大的振动；杨浦大桥尾索在风雨共振作用下也发生过剧烈的振动，最大振幅超过l米。2001年，在南京长江二桥通车前，桥上斜拉索在风雨激振下发生大幅摆动，导致安装在梁端的部分油阻尼器损坏[3-5]。
目前对斜拉索风致振动的研究主要集中在单索的风致振动，已经发现的斜拉索可能的振动类型主要包括以下六类：(1) 顺向风振动；(2) 风雨激振；(3) 横风向驰振；(4) 涡激共振；(5) 参数共振。
1. 顺向风振动是拉索振动最常见的一种。由于风速可以分解为平均风速和脉动风速，风对拉索的作用也表现为平均风引起的静内力、静位移和脉动风引起拉索的振动响应，包括动内力、动位移和振动加速度。
2. 在拉索的风致振动中，风雨激振是最激烈的形式之一。风雨激振现象是由日本学者于1986年首先发现的。其后在欧洲，我国等多个国家都观察到这一现象。在干燥的气候条件下稳定的拉索，而在风和雨的共同作用下，由于雨线的出现，使拉索变得不再稳定。拉索发生风雨激振的特点为大、中、小雨状态下皆可能发生拉索的风雨激振，一般长索发生风雨激振的可能性较大，而靠近塔柱处的短索发生这一振动的可能性较小，一般发生在包裹的具有光滑表面的拉索，风雨激振时，拉索常以单模态振动，振动的频率一般为拉索的一阶模态频率。已经观察到有塔的背风面索面振动较大而塔的迎风面索面振动较小的情况。在一座桥上，常有多根拉索同时发生风雨激振。
3. 横风向驰振是指拉索在垂直于风向上发生微小速度时，这个速度便和风速合成一个对索的迎风面形成一定角度的合成速度，同时产生垂直风向的力分量，这种作用不断加强，就会使拉索产生激烈的横风向振动，振幅可达1~10倍拉索的直径[8]。拉索的横向风驰振属于发散性振动。尾流驰振是拉索的另一种驰振形式，两索沿风向斜列时，来流方向的下游拉索将发生比上游拉索更强烈的一种风致振动。上游拉索的尾流中存在一个不稳定驰振区，如果下游拉索正好位于这一不稳定区域内，其振动幅值就会不断加大，直至达到一个稳态大振幅的极限环。当两拉索相距较远时，超出尾流驰振不稳定区时，就不会发生尾流驰振[2]。
4. 拉索的涡激共振。风作用在圆截面拉索，产生交替脱落的漩涡此即所谓的卡门漩涡，拉索在横向风上被周期性驱动。当涡旋的脱落频率与拉索的某阶自振频率相接近或相等时，出现频率锁定现象，引起拉索在横风向上较大的运动，即横风向涡激振[3]。
5. 参数振动。对已建和在建的斜拉桥观测表明，在无风和风荷载很小的情况下，个别拉索有时会发生十分强烈的横向振动。研究表明，当桥面的某阶振动频率接近拉索的振动频率的2倍时，拉索将可能发生自激共振现象，从而引起拉索的大幅振动，这种振动也称为参数振动[2]。
拉索的风雨激振和参数共振都是强非线性振动，能引起拉索的大幅振荡，对拉索具有相当大的破坏性。对拉索进行动力学分析，其自振频率则是十分重要的参数。与此同时，由风雨激振和参数共振发生的机理可知，这两种大幅振动的发生与拉索自身的振动频率密切相关，因此有必要对拉索自振频率进行分析。
2. 拉索自振频率解析解
运用数理方程知识，拉索的自振频率可由解析的方法计算得到，具体过程如下。
设有一根均匀、柔软而且有弹性的拉索 ，其长度为 ，建立如图1坐标系，设拉索被拉紧成直线状。当它在平衡位置附近作垂直于 方向的微小振动，并且在振动过程中拉索始终保持在同一平面，用 表示拉索上任意一点 ，在任意时刻 沿着垂直于 方向的位移。显然，拉索的微小横振动可以用函数 来描述。
图1拉索示意图
在拉索上任取一小段弧长 。由于拉索的振动是微小的，故可以认为拉索在振动过程中并未伸长，即 的长度 。由胡克定律知，拉索上各点处的张力 的大小都相同且不随时间变化，即 是常数。又由于拉索是柔软的，因此拉索抵抗弯曲的能力非常小，可以忽略不计，即认为拉索的抗弯刚度为零，故 的方向总是沿着拉索的切线方向。
任取拉索上微小的一段弧长 为隔离体，在 时刻的受力情况如图2所示。
图2拉索隔离体受力分析
由受力分析知，作用在微段 上的力有：点 处的张力 ，它在 轴的分力为 ；点 处的张力 ，它在 轴的分力为 ；设拉索的单位长度质量为 。
根据达朗伯原理得
； (1)
因为 ，故
(2)
又由于拉索做微小振动时，振幅很小，切线的倾角 也很小，故 就很小，以致 <<1，可以忽略不计，因此有
(3)
同理
(4)
于是得
(5)
同除以 得
(6)
令 取极限得
(7)
记 ，则可以简写成
(8)
线性方程中的变量可分离，而且振动是简谐振动，因此，方程式中的解可以写成
(9)
式中： ，为圆频率，单位为 ； 为振型函数，可由下式解出。
由
(10)
得
(11)
由于两端为铰支座
；(12)
；(13)
于是有
， ； (14)
要 ，则必须
；(15)
则
(16)
由此可得不考虑弯曲刚度时，拉索横向振动的固有频率
(17)
式中
―拉索的轴向拉力 ；
―拉索的长度 ；
―拉索单位长度的质量 ；
―第 阶振型，
相应的振型为
(18)
考虑弯曲刚度时，分析过程同上，拉索横向振动的固有频率为
(19)
式中
―拉索的轴向拉力 ；
―拉索的长度 ；
―拉索单位长度的质量 ；
―第 阶振型， ；
―考虑了拉索弯曲刚度的修正系数；
(20)
式中
―拉索的弹性模量 ；
―拉索的惯性矩 。
3. 拉索有限元建模
3.1. 拉索建模的方法
斜拉桥拉索有限元建模主要有三种方法：等效弹性模量法、多段直杆法和曲线索单元法。
等效弹性模量法由Pippard和Chitty于1944年在分析拉杆时提出，后来Ernst等人将其引入拉索的建模中。它是用考虑了垂度变换影响的有效弹性模量的直杆代替悬索。由于等效弹性模量法的精度限制，它主要用于初步设计，而不宜用于高精度的详细分析中。Ernst公式中等效弹性模量与拉索的轴应力是有关系的（轴应力出现在等效弹性模量的表达式中），在实际计算中也不简单，需要迭代求解。
多段直杆法的想法基于基本的微积分思想，这种想法在悬索桥的模拟中早就提了出来。将拉索离散成一串无质量的、铰接的连杆，并且轴向刚度采用Pugsley提出的重力刚度；主缆自重和其他任意荷载集中作用在连杆的节点上。随着连杆数目的增多，这个体系将趋于真实情况。无穷多的连杆能模拟缆索的真实受力状态，实际应用中，有限多的连杆就具有了足够的精度。
曲线索单元法将拉索分成一个或多个曲线单元，其单元刚度矩阵由多项式或拉格朗日差值函数通过在公共节点上的连续性来确定。也有些曲线单元从拉索的真实形状（悬链线）出发。
相比之下，采用多段直杆法比较方便。ABAQUS中提供了非线性分析的能力和一些常见的杆件单元，合理地利用它们足以在设计要求允许的精度范围内模拟拉索的力学行为。
3.2. 单元的选择
ABAQUS中没有现成的索单元，根据拉索的受力特点，只能承受拉力，不能承受压力，且抗弯刚度可以忽略不计，选择二维两节点的Truss单元(T2D2)进行模拟。T2D2单元只有一个自由度，只能反映轴向力的变化，而初始应力使得杆单元中只有拉应力，且由于初始应力很大，在后续分析中，杆单元中不会出现压应力；Truss单元之间采用铰接，即没有抗弯刚度，以上与拉索的力学特点十分相似，故采用铰接T2D2单元模拟拉索，和实际情况比较接近。
3.3. 模型的建立
本文中采用 个铰接的杆单元模拟拉索的行为。拉索两边的支承用铰支座模拟，与实际情况比较接近。具体模型如图3所示。
图3拉索模型示意图
4. 算例分析
采用文献[4]中某工程实例，拉索的具体参数如下。
1. 材料参数：
弹性模量 ；泊松比 ；拉索的换算密度 。
2. 边界条件：
实际中，拉索两端与主梁和桥塔是铰接的，所以模型的两端采用铰支座来模拟约束条件。
3. 初始条件：
预应力 。
4. 几何尺寸：
拉索长度为 ；截面面积为 。
把本模型拉索的参数代入公式(17)，计算得拉索的第一阶至第十阶的自振频率，结果见表1。
拉索第一阶至第十阶自振频率解析解表1
自振频率阶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频率解析解
1.147 2.295 3.442 4.590 5.737 6.885 8.032 9.180 10.327 11.474
根据问题的性质选择ABAQUS的Linear perturbation计算方法中的frequency作为分析步。
运用ABAQUS对模型进行分析计算，得到拉索第一至第十阶的自振频率及振型，结果见表2。将拉索的第一至第十阶自振频率的理论解与ABAQUS的计算结果进行比较，结果见表3。
拉索第一阶至第十阶自振频率数值解表2
自振频率阶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频率数值解
1.144 2.288 3.431 4.574 5.716 6.856 7.995 9.133 10.268 11.401
频率计算结果比较表3
自振频率阶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频率解析解
1.147 2.295 3.442 4.590 5.737 6.885 8.032 9.180 10.327 11.474
频率数值解
1.144 2.288 3.431 4.574 5.716 6.856 7.995 9.133 10.268 11.401
误差
-0.26 -0.31 -0.32 -0.35 -0.37 -0.42 -0.46 -0.51 -0.57 -0.64
由以上分析可知，用108个相互铰接的杆单元对拉索进行模拟，精度满足要求。后文分析中均采用相互铰接的个杆单元模拟拉索，具体单元数目与单元大小根据拉索的几何尺寸而定。
5. 结论
本文运用解析法和有限单元法两种方法进行分析计算，并且将结果进行了对比，两种方法得到的结果吻合较好，证明了解析法和有限单元法的可靠性，可以用这两种方法求解拉索的自振频率来研究拉索的风雨激振和参数共振问题。
参考文献：
[1] 项海帆.现代桥梁抗风理论与实践. 北京：人民交通出版社，2005.
[2] 陈明宪，斜拉桥建造技术，北京：人民交通出版社，2003
[3] 符旭晨，周岱等，斜拉索的风振与减振，振动与冲击，Vo1.23.No.3 29~32
[4] 陈政清，桥梁风工程，北京：人民交通出版社．2005
